⭐國中數學教學計畫
單元：因式分解的方法－十字交乘法
（四節課 × 每節 45 分鐘）
一、單元名稱
因式分解的方法－十字交乘法
二、標準本位評量（ABCD 等級）
| 等級 | 能力描述 |
|---|---|
| A 卓越 | 能分析二次三項式結構，正確運用十字交乘法完成因式分解，清楚說明判斷與檢核過程，並能自行設計題目。 |
| B 良好 | 能正確運用十字交乘法分解係數為 1 或不為 1 的二次三項式，步驟完整。 |
| C 基礎 | 能在提示下使用十字交乘法分解係數為 1 的二次三項式。 |
| D 入門 | 能辨識二次三項式，理解因式分解與乘法公式的對應關係。 |
三、Keller ARCS 動機策略
| 面向 | 教學策略 |
|---|---|
| A 注意（Attention） | 以「不想試到天荒地老，能不能一次就對？」引發對系統化方法的興趣。 |
| R 相關（Relevance） | 連結先前的乘法公式與提公因式，說明十字交乘法是快速、有依據的工具。 |
| C 自信（Confidence） | 建立固定流程：寫十字 → 乘積 → 相加 → 檢核，降低嘗試挫折。 |
| S 滿意（Satisfaction） | 透過學生出題、同儕驗證與一次成功的經驗，建立成就感。 |
四、四節課教學流程總覽
| 節次 | 階段 | 教學主題 | 教學重點 | 預期學習成果 |
|---|---|---|---|---|
| 第 1 節 | D | 二次三項式辨識 | 結構與概念 | 能辨識型態 |
| 第 2 節 | C | 十字交乘（a=1） | 乘積與和 | 能完成分解 |
| 第 3 節 | B | 十字交乘（a≠1） | 係數處理 | 能正確判斷 |
| 第 4 節 | A | 綜合應用 | 策略、驗證、創題 | 能分析與說明 |
五、四階層次學習單（教師版＋學生版）
🌱 第 1 節【D 階】
主題：二次三項式與因式分解的關係
🎯 學習目標
- 能辨識二次三項式 (ax^2+bx+c)
- 能理解因式分解是乘法的反向
📘 教師版（教學流程）
① 老師講解學生聽講
- 回顧展開：((x+2)(x+3)=x^2+5x+6)
- 提問：若只看到 (x^2+5x+6)，怎麼回去？
- 引出十字交乘法的動機
② 老師提示學生練習
- 提示語：「先看是不是二次三項式」
③ 學生練習老師提示
- 老師巡視，提醒常見誤判（缺項、非三項）
④ 學生出題老師提問
- 學生寫一個二次三項式
- 老師問：「你怎麼確定它符合？」
✏️ 學生版
判斷下列是否為二次三項式：
(x^2+3x+2)、(x^2+1)、(2x^2-5x+3)
(x^2+3x+2)、(x^2+1)、(2x^2-5x+3)
✔ 自我檢核
□ 我會辨識二次三項式
□ 我知道要用哪一類方法
□ 我會辨識二次三項式
□ 我知道要用哪一類方法
🌿 第 2 節【C 階】
主題：十字交乘法（首項係數為 1）
🎯 學習目標
- 能使用十字交乘法分解 (x^2+bx+c)
- 能判斷「乘積為 c、和為 b」
📘 教師版（教學流程）
① 老師講解學生聽講
- 示範：
(x^2+7x+10)
→ 找乘積 10、和 7 → 5 與 2
② 老師提示學生練習
- 提示語：「先看乘積，再看和」
③ 學生練習老師提示
- 老師提醒符號正負要一起考慮
④ 學生出題老師提問
- 學生出一題
- 老師問：「為什麼不是另一組？」
✏️ 學生版
因式分解：
(x^2+9x+20)、(x^2-5x+6)
(x^2+9x+20)、(x^2-5x+6)
✔ 自我檢核
□ 我會找乘積與和
□ 我會注意正負號
□ 我會找乘積與和
□ 我會注意正負號
🌳 第 3 節【B 階】
主題：十字交乘法（首項係數不為 1）
🎯 學習目標
- 能處理 (ax^2+bx+c)（a≠1）
- 能正確安排係數與變數
📘 教師版（教學流程）
① 老師講解學生聽講
- 示範：
(2x^2+7x+3)
→ 先找乘積 (2×3=6)、和 7
② 老師提示學生練習
- 提示語：「十字乘起來要加成中項」
③ 學生練習老師提示
- 老師追問：「這一組為什麼成立？」
④ 學生出題老師提問
- 學生設計容易出錯的題目
- 老師問：「錯誤會出在哪？」
✏️ 學生版
因式分解：
(3x^2+8x+4)、(2x^2-x-3)
(3x^2+8x+4)、(2x^2-x-3)
✔ 自我檢核
□ 我會處理 a≠1
□ 我能驗證乘回
□ 我會處理 a≠1
□ 我能驗證乘回
🌲 第 4 節【A 階】
主題：十字交乘法的策略、驗證與創題
🎯 學習目標
- 能判斷是否適合使用十字交乘法
- 能檢核分解結果
- 能自行設計題目
📘 教師版（教學流程）
① 老師講解學生聽講
- 示範綜合題：
(6x^2-7x-3) - 強調：提公因式與十字法的先後順序
② 老師提示學生練習
- 提示語：「先簡化，再分解」
③ 學生練習老師提示
- 老師引導學生用「乘回去」檢查
④ 學生出題老師提問
- 學生設計一題含陷阱的題目
- 老師問：「你希望別人在哪一步卡關？」
✏️ 學生版
請因式分解並驗證：
(4x^2-11x+6)
(4x^2-11x+6)
✔ 自我檢核
□ 我會檢核
□ 我能說明策略
□ 我會檢核
□ 我能說明策略
六、ABCD 教學檢核表
| 等級 | 檢核指標 | 達成 |
|---|---|---|
| D | 能辨識二次三項式 | □ |
| C | 能用十字法（a=1） | □ |
| B | 能用十字法（a≠1） | □ |
| A | 能分析、驗證、創題 | □ |
七、教師反思欄位
- 學生最常卡關在「找乘積與和」還是「正負判斷」？
- 是否有學生忽略先提公因式？
- 哪一節課最能看出學生策略成熟度？
- 下次教學可加強的地方：
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