下08第04章-認識平行線

認識平行線｜四階層次學習單

第一階：概念認知（認識平行線的特徵與意義）

• 學習目標：認識平行線的定義與符號表示法；理解平行線的特徵與生活中的應用。
• 活動內容：
  • 觀察生活中平行線的實例並思考其特徵。
  • 介紹平行線的定義與表示方法（如 l ∥ m）。
  • 師生共作一張平行線概念圖。
• 練習題：
  • 畫出五組生活中的平行線例子。
  • 填空與選擇題：認識平行線的性質與符號。

第二階：操作與計算（學會使用直尺與三角板畫平行線）

• 學習目標：熟悉畫平行線的方法，能用尺規畫出平行線。
• 活動內容：
  • 教師示範用三角板畫出平行線。
  • 學生動手操作，練習使用三角板與等高線畫平行線。
  • 設計城市街道地圖，運用平行線表示道路。
• 練習題：
  • 操作題：畫出與給定直線平行的線段。
  • 補齊圖形並標示平行線符號。

第三階：應用實作（與平行線有關的角）

• 學習目標：認識錯角、同位角、內錯角，並能應用其性質解題。
• 活動內容：
  • 從生活情境中介紹角度關係。
  • 利用量角與觀察探索角的性質。
  • 運用幾何推理解決實際問題。
• 練習題：
  • 判斷圖形中的同位角與錯角。
  • 角度計算題與配對題。

第四階：統整與評量（綜合應用與錯誤辨識）

• 學習目標：綜合運用平行線與角的性質解題，能辨認常見錯誤。
• 活動內容：
  • 錯誤診斷卡：找出例題中的錯誤。
  • 設計平行線與角度圖案，互相解題。
  • 小組搶答活動，加深記憶與應用。
• 練習題：
  • 綜合多步驟解題題。
  • 創作一題平行線應用題並解題。

下08第02章-一次函數

🎯 主題：「一次函數」四階段學習單設計

📚 適用對象：國中學生
🕒 課程時數：四節課 × 每節 45 分鐘

📘 第一階：認識一次函數（概念建立）

• 學習目標：
  • 能了解一次函數的定義與形式
  • 能辨識一次函數與非一次函數
  • 能從表格、圖形中觀察一次變化的特性
• 教學內容：
  • 一次函數的標準式：y = ax + b
  • 常見圖像特徵：直線、斜率、截距
• 學習活動：
  • 表格輸入練習（x→y）
  • 圖形辨識任務（哪一條是一次函數）
  • 實體生活例子：飲料定價、租借費用等

📗 第二階：函數圖像與斜率（圖像理解）

• 學習目標：
  • 能畫出一次函數的圖形
  • 能計算並解釋斜率與截距的意義
• 教學內容：
  • 如何從公式繪製直線圖像
  • 斜率 a 的幾何意義（變化率）
• 學習活動：
  • 坐標格紙繪圖（固定 x 計算 y，連線成圖）
  • 比較不同 a 值對圖形的影響
  • 動手做：用紙條模擬不同斜率直線

📙 第三階：函數應用與問題解決（實際應用）

• 學習目標：
  • 能運用一次函數解決生活問題
  • 能從情境中建構對應的一次函數
• 教學內容：
  • 敘述型題目轉換為數學式子
  • 一次函數在生活中的應用
• 學習活動：
  • 情境問題建模（如：租車費用、買票成本）
  • 圖像判讀實作：何時最便宜？何時相等？
  • 應用題速解挑戰賽

📕 第四階：統整、延伸與創新（高層挑戰）

• 學習目標：
  • 能統整一次函數的公式、圖像與應用
  • 能進行創意延伸與反思比較
• 教學內容：
  • 比較一次與非一次函數（如：平方函數、常數函數）
  • 應用一次函數解決複合問題
• 學習活動：
  • 一次函數創意情境任務設計
  • 小組挑戰題解法比較
  • 概念地圖總整理 + 自評互評學習單

📎 學習單設計建議（每階段）

• ✅ 我知道了（重點整理）
• ✏️ 我來練習（基本操作題）
• 🔍 我來應用（情境題 / 小任務）
• ⭐ 我來挑戰（高層次 / 創新任務）

下08第01章 1-2等差級數-學習單｜第04階：統整應用與延伸挑戰

等差級數學習單｜第四階：統整應用與延伸挑戰

🔍 一、學習目標

• 我能統整等差級數的概念與公式
• 我能比較數列與級數、等差與等比的差異
• 我能創造與表達具有等差級數結構的應用情境

 

📌 二、重點統整

• 📘 數列 vs 級數：
• 數列是有順序的數的排列，例如：2, 4, 6, 8, 10
• 級數是將數列的項加總，例如：2 + 4 + 6 + 8 + 10

• 📗 等差 vs 等比：
•  等差：每項與前項差相等；等比：每項與前項比值相等

 

🎨 三、創意應用活動

請設計一個有等差級數結構的故事或情境，並寫出相對應的總和算式。

情境描述：____________________________

列出數列：____________________________

計算總和：____________________________

 

🗣️ 四、小組發表任務

將你們設計的級數故事整理成一張簡報或海報，內容包括：

• 故事或情境說明
• 數列與公式應用過程
• 算式與答案
• 你們的學習心得或發現

 

⭐ 五、挑戰題（進階選做）

• 1. 有一個等差級數的前 n 項和為 Sn = 3n² + 2n，請問：
• （1）這個數列的首項是？
• （2）這個數列的第 n 項公式是？
• 2. 如果某等差級數的前 20 項總和是 820，且首項為 4，請問第 20 項是？

 

下08第01章 1-3等比數列

 關於「等比數列」的四階層次學習單主題，預計用於四節課(每節45分鐘)

📚 主題：「等比數列」四階層次學習單設計

🧑‍🏫 適用對象：國中高年級或國一、國二學生
⏰ 課程時數：四節課 × 每節 45 分鐘

📘 第一階：認識與比較（第1節課）

• 學習目標：

• 了解什麼是等比數列

• 能與等差數列做比較

• 能觀察並找出等比數列的規律與公比
  
  

• 教學內容：

• 等比數列定義與基本結構

• 與等差數列比較（加法 vs 乘法）
  
  

• 學習活動：

• 視覺圖形觀察活動（點數或格子數成長）

• 數列分類活動：哪些是等比？

• 生活應用：細胞分裂、錢滾錢、病毒傳播等
  
  

📗 第二階：通項公式與計算（第2節課）

• 學習目標：

• 能寫出等比數列的通項公式
  an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}an​=a1​⋅rn−1

• 能正確代入計算任意一項
  
  

• 教學內容：

• 通項公式推導與代入練習

• 公比為正與負、分數與大於1的處理方式
  
  

• 學習活動：

• 通項公式代入練習

• 翻牌配對題（通項找項、找公比）

• 解釋題：「為什麼這樣代？」
  
  

📙 第三階：應用題與解題策略（第3節課）

• 學習目標：

• 能運用通項公式解決實際問題

• 能理解數列的應用價值與意義
  
  

• 教學內容：

• 常見應用題型：資金倍增、細胞倍增、機率遞減等

• 根據題意判斷所需項目與代入時機
  
  

• 學習活動：

• 任務卡小組解題（找錯誤、修正步驟）

• 題目排序任務（難度分類、方法比較）

• 實作觀察任務（例如：疊杯、摺紙厚度）
  
  

📕 第四階：統整與創新挑戰（第4節課）

• 學習目標：

• 能整合等比數列概念與公式

• 能進行創新應用與題目設計
  
  

• 教學內容：

• 比較等差與等比數列的異同

• 延伸討論：等比級數的初步認識（可作延伸）
  
  

• 學習活動：

• 自創應用題活動（生活、故事結合）

• 數列成長模擬展示

• 小組發表：我的數列故事＋算式＋圖解
  
  

---

📎 教學補充建議

• 每張學習單可設計三區塊：

• 「✔️我會了」：基本題型

• 「✏️我來試」：應用解題

• 「⭐挑戰我自己」：延伸與創新任務
  
  

• 可搭配工具與素材：

• 表格觀察活動（Excel、圖像數列）

• 模型實作（積木、紙疊層、幣值堆疊）

下08第01章 1-2等差級數-學習單｜第03階：應用解題與錯誤診斷

 等差級數學習單｜第三階：應用解題與錯誤診斷

🔍 一、學習目標

• 我能應用公式解釋解題流程

• 我能針對錯誤解題進行修正與說明

• 我能解釋生活中的級數應用題

📌 二、重點整理

✅ 解題流程提示：

• 1. 釐清已知（a₁, d 或 aₙ, n）

• 2. 決定使用的公式：

• Sn = n / 2 × (a₁ + aₙ) 

• 或 Sn = n / 2 × [2a₁ + (n - 1)d]

• 3. 代入計算，步驟要清楚

• 4. 檢查答案是否合理

🧠 三、錯誤診斷區

請閱讀以下同學的解題過程，找出錯誤並加以說明。

【錯誤例1】
題目：某等差數列首項為 2，公差為 3，求前 10 項總和。
學生解：Sn = 10 / 2 × (2 + 3×10) = 5 × (2 + 30) = 5 × 32 = 160

→ 錯在哪裡？正確解法是什麼？

【錯誤例2】
題目：a₁ = 1, a₁₀ = 19，求前 10 項和。
學生解：Sn = 10 / 2 × (1 + 10) = 5 × 11 = 55

→ 錯在哪裡？正確解法是什麼？

✏️ 四、應用題練習

• 1. 一間公司每月調薪 500 元，第一個月薪資為 30,000 元，請問半年後共領了多少錢？

• 2. 一棟大樓每層樓梯增加 2 階，第 1 層有 10 階，第 10 層有幾階？共走了幾階？

• 3. 某人每週跑步距離為 3 公里，每週增加 1 公里，請問 8 週後總共跑了多少公里？

⭐ 五、挑戰任務（選做）

與同學一同設計一道等差級數的應用題，並嘗試解釋它的錯誤解法與正解。

我們的題目：_________________________________

錯誤解法：_________________________________

正確解法：_________________________________

下08第01章 1-2等差級數-學習單｜第02階：公式建構與操作

 等差級數學習單｜第二階：公式建構與操作

🔍 一、學習目標

• 我能理解等差級數的總和公式

• 我能代入公式正確計算等差級數的和

• 我能解釋公式中各符號的意義

📌 二、重點整理

• 📘 等差級數的和公式：

• Sn = n / 2 × (a₁ + aₙ)

• 或 Sn = n / 2 × [2a₁ + (n - 1)d]

• 其中：

• Sn：前 n 項的總和

• a₁：首項

• aₙ：第 n 項

• d：公差

• n：項數

🧠 三、範例引導

【範例1】
某等差級數首項為 3，公差為 4，共 10 項，求總和。

解：a₁ = 3, d = 4, n = 10
a₁₀ = a₁ + (10 - 1)d = 3 + 36 = 39
Sn = 10 / 2 × (3 + 39) = 5 × 42 = 210

【範例2】
已知 a₁ = 2，aₙ = 20，n = 10，求 Sn。

Sn = 10 / 2 × (2 + 20) = 5 × 22 = 110

✏️ 四、練習時間

1. 某等差數列首項為 5，公差為 3，共 12 項，求總和。

2. 若 a₁ = 4，a₁₅ = 46，求前 15 項的總和。

3. 若某等差級數 Sn = 275，a₁ = 2，公差為 3，請問它共有幾項？

4. 有一個等差數列的第 1 項是 10，第 10 項是 55，求前 10 項總和。

⭐ 五、挑戰任務（選做）

請你設計一個生活中的等差級數應用題，寫出題目與完整解法。

我的題目：____________________________________________

我的解法：____________________________________________