關於「多項式的四則運算」的四階層次學習單主題
1多項式基本定義：
- 說明多項式的基本概念，包括變數、係數、項、次數等。
- 提供範例多項式，讓學生理解多項式的組成。
2多項式加法與減法：
- 教授直式和橫式的多項式加法和減法。
- 提供練習題目，讓學生熟練運用這些運算。
3多項式乘法：
- 說明直式的多項式乘法（乘積最高至三次）。
- 提供練習題目，讓學生熟悉乘法運算。
4多項式除法：
- 探討被除式為二次之多項式的除法運算。
- 提供實際問題，讓學生運用除法解決。
2024年7月12日 星期五
8上01-多項式的四則運算
8上01-二次式的乘法公式
關於「二次式的乘法公式」的四階層次學習單主題
1基礎概念：
- 了解二次式的基本結構：ax^2 + bx + c。
- 熟悉乘法公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2。
2展開與因式分解：
- 學習如何展開二次式：(x+2)(x-3)。
- 掌握因式分解：x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)。
3應用練習：
- 解決實際問題，例如：「一個長方形的長度是x+3，寬度是x-2，面積是多少？」。
4挑戰題目：
- 探討更複雜的二次式乘法，例如：(2x+1)(3x-4)。
END
7上04-線對稱圖形
關於「線對稱圖形」的四階層次學習單主題
1線對稱圖形基本概念：
- 目標：學生能瞭解線對稱圖形的定義並判斷什麼是線對稱圖形。
- 內容：
- ■介紹線對稱圖形的定義，包括對稱軸、對稱點、對稱角等。
- ■觀察日常生活中的線對稱圖形，例如正方形、等腰三角形等。
- ■練習判斷給定圖形是否為線對稱圖形。
2尋找線對稱圖形：
- 目標：學生能尋找日常生活中的線對稱圖形並畫出所有對稱軸。
- 內容：
- ■觀察照片、廣告、建築物等，找出線對稱圖形。
- ■練習畫出給定圖形的所有對稱軸。
3畫線對稱圖形：
- 目標：學生能利用直尺、對稱軸、對稱點、垂直平分的概念，畫出線對稱圖形。
- 內容：
- ■示範如何畫線對稱圖形，例如給定一個點和對稱軸，畫出對稱點。
- ■學生練習畫出完整的線對稱圖形。
4挑戰：畫出正多邊形的所有對稱軸：
- 目標：學生能畫出正多邊形的所有對稱軸。
- 內容：
- ■練習畫出正三角形、正方形、正五邊形等的所有對稱軸。
- ■思考並寫出正多邊形的對稱軸數量和邊數的關係。
END
7上04-三視圖
關於「三視圖」的四階層次學習單主題
三視圖是什麼？
- 立體圖形的三視圖是由不同方向觀察立體物體所得的視圖。
- 通常包括以下視圖：
- 上視圖：從立體圖形的正上方俯視繪製。
- 前視圖：從立體圖形的正前方觀察繪製。
- 右視圖：從立體圖形的正右方觀察繪製。
階梯式學習單
以下是一份階梯式的學習單，適用於國中學生：
1認識三視圖：
- 解釋三視圖的概念，並列舉不同視圖的名稱。
- 提供簡單的立體圖形，讓學生練習繪製上視圖、前視圖和側視圖。
2繪製三視圖：
- 給予更複雜的立體圖形，要求學生繪製完整的三視圖。
- 強調觀察角度和方向的重要性。
3應用：
- 提供實際案例，例如建築物、家具或機械零件的三視圖。
- 要求學生分析並繪製相關的三視圖。
4挑戰：
- 給予更複雜的立體圖形，要求學生自行繪製完整的三視圖。
- 鼓勵學生思考不同的觀察角度。
END
7上03-一元一次方程式
關於「一元一次方程式」的四階層次學習單主題
1基本概念：
- 介紹一元一次方程式的基本概念，例如方程式的結構、變數、係數等。
- 提供簡單的例題，讓學生練習寫出一元一次方程式。
2解方程式的方法：
- 詳細介紹解一元一次方程式的方法，包括加減法、乘除法等。
- 提供多個實際問題，讓學生練習應用這些方法解方程式。
3應用練習：
- 提供更複雜的應用問題，例如兩個未知數的方程式、幾何問題等。
- 強調學生需要先設定方程式，再進行解題。
4挑戰題目：
- 給予學生一些挑戰性的問題，例如系統方程式、比例方程式等。
- 鼓勵學生思考更深入的數學概念。
END
2024年7月11日 星期四
7上03-代數符號
關於「代數符號」的四階層次學習單主題
1交換律、分配律、結合律：
- 介紹代數符號的基本概念，例如加法和乘法的交換律、分配律以及結合律。
- 提供幾個實際生活中的例子，讓學生理解這些法則的應用 。
2一次式的化簡及同類項：
- 解釋一次式（一元一次方程式）的組成，包括常數項和一次項。
- 示範如何化簡一次式，合併同類項，並使用代數符號表示 。
3符號紀錄生活中的情境問題：
- 鼓勵學生觀察日常生活中的數學情境，例如購物、計算成績等。
- 要求學生使用代數符號記錄這些情境，並解釋其意義。
4挑戰問題：
- 提供一些較複雜的代數問題，例如多項式的運算或方程式的求解。
- 鼓勵學生運用所學的代數符號知識解決這些問題。
END
7上02-質數
關於「質數」的四階層次學習單主題
1質數基本觀念：
- 學習目標：理解質數的意義，並認識100以內的質數。
- 內容：
- (1)介紹質數和合成數的概念。
- (2)判別2、3、5是否為質數。
- (3)使用短除法分解質因數。
2質數與合成數的發現之旅：
- 學習目標：透過實際操作，讓學生自行發現質數和合成數的特性。
- 內容：
- (1)利用排矩形的方式，讓學生發現哪些數字可以排成矩形。
- (2)介紹質數、合成數和1的意義。
- (3)使用「愛氏篩」的方法找出100以內的質數。
3質數概念學習單：
- 學習目標：掌握20以內的質數和質因數分解。
- 內容：
- (1)判別小於20的質數和合數。
- (2)使用2、3、5的質因數判別法。
- (3)以短除法做質因數的分解。
4質數與質因數分解：
- 學習目標：找出100以內的質數，並進行質因數分解。
- 內容：
- (1)質數的概念和特性。
- (2)質因數分解的標準分解式。
END
7上02-質因數分解的標準分解式
關於「質因數分解的標準分解式」的四階層次學習單主題
1質因數分解的基本概念：
- 說明質因數分解的意義和目的。
- 示範如何找出一個正整數的質因數。
- 練習幾個簡單的質因數分解題目。
2標準分解式的寫法：
- 解釋什麼是標準分解式。
- 提供幾個正整數的標準分解式範例。
- 讓學生練習寫出其他數字的標準分解式。
3質因數分解與倍數關係：
- 探討質因數分解和求因數、倍數之間的關係。
- 練習計算一個數字的因數和倍數。
4應用題目：
- 提供一些實際應用的問題，要求學生進行質因數分解和寫出標準分解式。
- 鼓勵學生思考如何應用這些概念解決實際問題。
END
2024年7月10日 星期三
7上01-科學記號
關於「科學記號」的四階層次學習單主題
1初階學習單：科學記號的基本概念
- 講解科學記號的意義，以及如何表示正數和負數。
- 提供一些簡單的科學記號運算練習，讓學生理解其基本特性。
2中階學習單：科學記號的運算法則
- 探討科學記號的乘法和除法法則，以及次方的應用。
- 提供一些實際例題，讓學生練習應用科學記號進行運算。
3進階學習單：科學記號的應用
- 引導學生思考科學記號在不同領域的應用，例如科學實驗、天文學、物理學等。
- 提供一系列應用問題，讓學生探索科學記號的實際意義。
4高階學習單：科學記號的進階應用
- 討論科學記號在大數和小數的表示中的應用，以及如何進行轉換。
- 提供更複雜的科學記號運算練習，讓學生深入理解其應用。
END
2024年7月9日 星期二
7上01-指數的意義
關於「指數的意義」的四階層次學習單主題
1初階學習單：什麼是指數？
- 講解指數的基本概念，包括底數、指數和次方。
- 提供一些簡單的指數運算練習，讓學生理解指數的意義。
2中階學習單：指數的性質
- 探討指數的性質，例如相同底數相乘、相同底數相除等。
- 提供一些實際例題，讓學生練習應用指數的性質。
3進階學習單：科學記號與指數運算
- 講解科學記號的意義，以及如何進行科學記號的指數運算。
- 提供一些實際例題，讓學生練習科學記號和指數的運算。
4高階學習單：指數的應用
- 引導學生思考指數在不同領域的應用，例如科學、工程、經濟等。
- 提供一系列應用問題，讓學生探索指數的實際意義。
END
7上01-數的運算規律
關於「數的運算規律」的四階層次學習單主題
1初階學習單：整數的加減運算
- 講解整數的加法和減法，包括正數相加、負數相加、正數相減和負數相減。
- 提供一些實際例題，讓學生練習整數的加減運算。
2中階學習單：整數的乘除運算
- 講解整數的乘法和除法，包括正數相乘、負數相乘、正數相除和負數相除。
- 提供一些實際例題，讓學生練習整數的乘除運算。
3進階學習單：指數律與科學記號
- 探討指數律的概念，包括乘方、除方、次方和科學記號。
- 提供一些實際例題，讓學生練習應用指數律。
4高階學習單：應用問題與解題策略
- 引導學生應用數的運算規律解決實際問題，例如商店打折、時間計算等。
- 提供一系列應用問題，讓學生思考解題策略。
END
7上01-數的四則運算
關於「數的四則運算」的四階層次學習單主題
1初階學習單：整數的加減運算
- 講解整數的加法和減法，包括正數相加、負數相加、正數相減和負數相減。
- 提供一些實際例題，讓學生練習整數的加減運算。
2中階學習單：整數的乘除運算
- 講解整數的乘法和除法，包括正數相乘、負數相乘、正數相除和負數相除。
- 提供一些實際例題，讓學生練習整數的乘除運算。
3進階學習單：分數的四則運算
- 講解分數的加法、減法、乘法和除法。
- 提供一些實際例題，讓學生練習分數的四則運算。
4高階學習單：應用問題與解題策略
- 探討數的四則運算在不同情境中的應用，例如商店打折、時間計算等。
- 引導學生思考解題策略，並提供一系列應用問題。
END
2024年7月8日 星期一
2024年6月8日 星期六
2024年6月2日 星期日
統計圖表
關於「統計圖表」的四階層次學習單主題
1初階學習單：資料整理與基本統計圖表
- 說明如何整理資料，包括資料的收集、整理、分類和編製表格。
- 簡單介紹長條圖、圓形圖和折線圖的基本概念，並提供一些實際例題。
2中階學習單：進階統計圖表與統計量
- 講解更複雜的統計圖表，例如直方圖、箱形圖和散佈圖。
- 介紹平均數、中位數和眾數等統計量，以更深入理解資料。
3進階學習單：統計圖表的應用
- 探討統計圖表在不同領域的應用，例如環境、經濟、社會等。
- 提供一些實際案例，讓學生練習應用統計圖表分析資料。
4高階學習單：自行製作統計圖表
- 引導學生自行收集資料，並製作適合的統計圖表。
- 鼓勵學生思考如何選擇適當的圖表來呈現不同類型的資料。
平行與四邊形
關於「平行與四邊形」的四階層次學習單主題
1初階學習單：平行四邊形的基本性質
- 說明平行四邊形的定義，以及其特點，例如對角線互相平分、對邊平行等
- 提供一些簡單的平行四邊形範例，讓學生理解其性質
2中階學習單：平行四邊形的面積計算
- 講解平行四邊形的面積計算方法，包括基底乘以高度
- 提供一些實際例題，讓學生練習計算平行四邊形的面積
3進階學習單：特殊四邊形（如矩形、菱形）的性質
- 詳細介紹矩形和菱形的性質，以及它們和平行四邊形的關係
- 提供一些特殊四邊形的例題，讓學生練習應用
4高階學習單：平行四邊形的應用問題
- 解平行四邊形的應用問題，例如建築、地理、藝術等領域
- 提供一系列常見的應用問題，讓學生練習解題
2024年4月14日 星期日
比與比例式
1. 什麼是比？
比是用來描述兩個數量之間的關係。例如，
- 時針與分針的倍數關係：假設一個時鐘上，時針和分針的角度之比是 1:12。如果時針指向 3 點，我們可以使用比例式來計算分針指向的位置。
- 濃度問題：某種藥水的濃度是 1:5，表示每單位的藥物含量對應 5 單位的溶劑。如果我們需要調配 200 毫升的藥水，我們可以使用比例式來計算需要多少藥物和溶劑。
2. 比的表示方式
比可以用分數、冒號或百分比表示。例如：
- 2:3 表示「2比3」。
- 2/3 表示「2比3的比值，2除以3」。
- 40% 表示「40比100」。
3. 正比和反比
- 正比：當兩個數量成正比時，它們的比值保持不變。例如，速度和時間成正比。
- 反比：當兩個數量成反比時，它們的乘積保持不變。例如，密度和體積成反比。
4. 比例式(或等比關係)
比例式是描述兩個比之間的關係。例如，$$a:b = c:d$$ 表示「a和b的比等於c和d的比」、或「a和b的比值等於c和d的比值」。
5. 應用問題
設計一些實際應用的問題，讓學生運用比和比例式解決日常生活中的問題。
END
平面直角坐標系
平面直角坐標系
1. 什麼是平面直角坐標系？
平面直角坐標系是由平面上兩條互相垂直、且有共同原點的數線所組成。其中：
- 水平的數線稱為 x 軸。
- 鉛垂的數線稱為 y 軸。
2. 坐標點的表示
在坐標平面上，我們可以使用序數對 $(x, y)$ 來表示一個點的位置。
例如，點 $A$ 的坐標是 $(-4, 3)$，表示它在 $x$ 軸上的位置是 $-4$，而在 $y$ 軸上的位置是 $3$。
3. 描點練習
練習在坐標平面上描點，例如：
- 描出點 B(1, 2)
- 描出點 C(3, -3)
- 描出點 D(-5, -2)
4. 距離計算
學習直角坐標系上兩點的距離公式：
已知兩點 $A (a, b)$ 和 $B (c, d)$，它們之間的距離為： $$線段AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}$$
5. 方位與距離
學習如何分析直角坐標與方位距離的關係，並運用直角坐標來標定位置。
這些內容可以作為學習單的基礎，可以根據自己的程度和需求進一步擴充或增加其他練習。希望這份學習單對國中學生的數學學習有所幫助！
2024年4月12日 星期五
二元一次方程式的圖形
在坐標平面上，二元一次方程式的圖形是一條直線，因此可以利用直線通過的點求二元一次式。以下是一份針對國中學生的數學學習單，關於「二元一次方程式的圖形」：
二元一次方程式的圖形
1.什麼是二元一次方程式？
二元一次方程式是指具有以下形式的方程式：
$$ax + by + c = 0$$
其中 $a$、$b$、$c$ 是實數，且 $a$ 和 $b$ 不同於零。
2.圖形的特性
在坐標平面上，二元一次方程式 $ax + by + c = 0$ 的圖形是一條直線。
我們可以利用直線通過的點來求解二元一次方程式。
3.如何繪製二元一次方程式的圖形？
選擇一些不同的 x 值，計算對應的 y 值，並繪製這些點在坐標平面上。
連接這些點，形成一條直線，即為二元一次方程式的圖形。
4.練習題
請根據以下二元一次方程式的圖形，求解方程式
$2x - 3y + 6 = 0$
$4x + 2y - 8 = 0$
END
2024年4月8日 星期一
路人手拉線放風箏 Desmos
在網路上見到有人分享，用方程式或函式堆疊出「路人手拉線放風箏的小動畫」，覺得可愛，自己也嘗試看看，以下是結合Desmos繪圖計算機
首先，在Desmos輸入以下方程式
- $\left(x-1\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}=1$
- $x=1\left\{1.5\le y\le4\right\}$
- $y=1.5x\left\{0\le x\le1\right\}$
- $y=1.5x+2.5\left\{0\le x\le1\right\}$
- $y=-1.5x+3\left\{1\le x\le2\right\}$
- $y=-1.5x+5.5\left\{1\le x\le2\right\}$
- $\left|1.5x-a\right|+\left|y-25\right|\le2$
- $\left|1.5x-a\right|+\left|y-25\right|=2$
- $1.5x-a+0.001=0.4\sin\left(y+a\right)\left\{15\le y\le23\right\}$
- $1.5x=a\left\{23\le y\le27\right\}$
- $y=25\left\{a-2\le1.5x\le a+2\right\}$
- $\frac{\left(1.5x-2\right)^{2}}{4+1.3a-20}+\frac{\left(y-25.1\right)^{2}}{16}=32\left\{2\le x\le23\right\}\left\{2\le y\le23\right\}$
- $\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2.5\right)^{2}\le0.05$
- $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-30\right)^{2}\le4$
- $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-30\right)^{2}=4$
- $x=4\left\{26.5\le y\le28\right\}$
- $x=4\left\{32\le y\le33.5\right\}$
- $y=30\left\{0.5\le x\le2\right\}$
- $y=30\left\{6\le x\le7.5\right\}$
- $y=x+26\left\{1.3\le x\le2.6\right\}$
- $y=-x+34\left\{1.3\le x\le2.6\right\}$
- $y=x+26\left\{5.4\le x\le6.7\right\}$
- $y=-x+34\left\{5.4\le x\le6.7\right\}$
- $\frac{\left(x-1.1a+12\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-28-0.5b\right)^{2}}{4}\le0.2$
- $\frac{\left(x-1.1a+15\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-28-0.5b\right)^{2}}{4}\le0.4$
- $\frac{\left(x-0.8a+19\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-32-b\right)^{2}}{4}\le0.2$
- $\frac{\left(x-0.8a+22\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-32-b\right)^{2}}{4}\le0.4$
- $20<=a<=25$, 間距0.01
- $0<b<3$, 間距0.2
END
2024年3月31日 星期日
請問如何判斷兩條直線是否平行？
判斷兩條直線是否平行有幾種方法，讓我們來看看：
同位角相等：如果兩條直線被一條截線所截，且同位角相等，那麼這兩條直線是平行的。
內錯角相等：如果兩條直線被一條截線所截，且內錯角相等，則這兩條直線平行。
同側內角互補：如果兩條直線被一條截線所截，且同側內角互補，那麼這兩條直線是平行的。
此外，你也可以通過直線的斜率來判斷兩條直線是否平行。如果兩條直線的斜率相等，則它們是平行的。
平行線的截角與截線
平行線的截角性質是一個有趣且重要的數學概念。讓我們來探討一下平行線和截線之間的關係。
1平行線的定義
如果平面上的兩條直線同時與一條直線垂直，那麼這兩條直線互相平行，我們記作「L1 // L2」，讀作「L1 平行於 L2」。其中，PQ 的長度即為 L1 和 L2 兩平行線之間的距離。
2截線
當一條直線與兩條平行線相交於不同的兩點時，我們稱這條直線為兩條平行線的截線。
3截角
直線與其截線所成的夾角稱為截角。
現在，讓我們來看看平行線和截線之間的性質。當兩平行線被一條截線所截時，它們之間的角有一些有趣的性質：
同位角相等：開口方向一致的角稱為同位角。例如，∠1 和 ∠5、∠2 和 ∠6、∠3 和 ∠7、∠4 和 ∠8 是同位角。
內錯角相等：在兩直線內側且分別在截線兩側的角稱為內錯角。例如，∠3 和 ∠5、∠4 和 ∠6 是內錯角。
同側內角互補：在兩直線內側且在截線同側的角稱為同側內角。例如，∠3 和 ∠6、∠4 和 ∠5 是同側內角。
總結來說，平行線的截角性質提供了一個有趣的方式來理解平行線和截線之間的關係。
全等三角形
1什麼是全等三角形？
全等三角形是指兩個三角形的所有對應邊和對應角都完全相等。當兩個三角形是全等的時候，我們可以使用以下方法來證明它們的全等關係。
2全等三角形的條件
兩個三角形全等的條件有以下幾點：
- SSS 條件（邊-邊-邊）：如果兩個三角形的三邊分別相等，則它們全等。
- SAS 條件（邊-角-邊）：如果兩個三角形的一邊和夾在其間的兩個角分別相等，則它們全等。
- ASA 條件（角-邊-角）：如果兩個三角形的一角和夾在其間的兩邊分別相等，則它們全等。
- AAS 條件（角-角-邊）：如果兩個三角形的兩角和夾在其間的一邊分別相等，則它們全等。
- RHS 條件（直角-邊-邊）：如果兩個直角三角形的一個銳角和兩個邊分別相等，則它們全等。
3全等三角形的應用
- 在幾何學中，全等三角形的概念非常重要。它們幫助我們證明各種性質和定理，例如角平分線定理、垂直平分線定理等。
尺規作圖
1什麼是尺規作圖？
尺規作圖是一種使用尺規和圓規的技巧，用來繪製幾何圖形。這些工具可以幫助我們精確地繪製直線、角度、圓等形狀。
2尺規和圓規的功能
- 尺規：用來繪製直線段，通常有刻度，可以測量長度。
- 圓規：用來繪製圓和弧，通常有不同半徑的刻度。
3基本尺規作圖步驟
3.1繪製直線段
- 使用尺規測量所需的長度。
- 在紙上的起點處放置尺規，然後使用鉛筆在尺規上標記終點。
- 連接起點和終點，得到所需的直線段。
3.2繪製角度
- 使用尺規繪製一條直線段。
- 在直線段的一端放置圓規的中心點。
- 調整圓規的半徑，使其與直線段相交。
- 保持圓規的半徑，移動到另一端，繪製所需的角度。
3.3繪製圓
- 使用圓規的中心點和半徑，繪製圓。
4尺規作圖的應用
尺規作圖在建築、工程、藝術等領域中都有廣泛的應用。
有關於多邊形
1多邊形的基本概念
- 定義：多邊形是由多條邊和多個角所組成的封閉平面圖形。它是幾何學中的重要主題之一。
2多邊形的分類
根據邊的數量，多邊形可以分為不同類型：
2.1 三角形
三角形是一種特殊的多邊形，它有三條邊和三個角。根據角度，三角形可以分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。
2.2 四邊形
四邊形是有四條邊的多邊形。常見的四邊形包括：
- 1矩形：四個角都是直角的四邊形。
- 2正方形：四邊長度相等且四個角都是直角的四邊形。
- 3菱形：
- 4鳶形(箏形)：
- 5梯形：
- 6平行四邊形：對立邊平行的四邊形。
2.3 其他多邊形
除了三角形和四邊形，還有其他多邊形，例如五邊形、六邊形、七邊形等。
3多邊形的性質
- 內角和定理：多邊形的內角和總和取決於邊的數量。例如，三角形的內角和總和是 $180^\circ$。
4多邊形的應用
- 多邊形在建築、地理、藝術、工程等領域中都有廣泛的應用。
有關於「三角形」
1三角形的基本概念
- 定義：三角形是由三條邊和三個角所組成的多邊形。它是幾何學中的基本形狀之一。
2三角形的分類
根據邊長和角度，三角形可以分為不同類型：
2-1根據邊長分類
- 等邊三角形：三邊長度相等，所有角都是 $60^\circ$。
- 等腰三角形：至少有兩邊長度相等，對應的兩角也相等。
- 一般三角形：三邊長度都不相等。
2.2 根據角度分類
- 鈍角三角形：其中一個角大於 $90^\circ$。
- 直角三角形：其中一個角是 $90^\circ$。
- 銳角三角形：所有角都小於 $90^\circ$。
3三角形的重要性質
- 內角和定理：三角形的三個內角和總和為 $180^\circ$。
- 外角和定理：三角形的一個內角和其相鄰的外角之和為 $180^\circ$。
- 三角形的外角定理：三角形的一外角等於另兩內角之和。
4三角形的應用
三角形在建築、工程、地理、測量等領域中都有廣泛的應用。
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