比與比例式

1. 什麼是比？ 

比是用來描述兩個數量之間的關係。例如， 

• 時針與分針的倍數關係：假設一個時鐘上，時針和分針的角度之比是 1:12。如果時針指向 3 點，我們可以使用比例式來計算分針指向的位置。 
• 濃度問題：某種藥水的濃度是 1:5，表示每單位的藥物含量對應 5 單位的溶劑。如果我們需要調配 200 毫升的藥水，我們可以使用比例式來計算需要多少藥物和溶劑。 

2. 比的表示方式 

比可以用分數、冒號或百分比表示。例如： 

• 2:3 表示「2比3」。 
• 2/3 表示「2比3的比值，2除以3」。 
• 40% 表示「40比100」。 

3. 正比和反比 

• 正比：當兩個數量成正比時，它們的比值保持不變。例如，速度和時間成正比。 
• 反比：當兩個數量成反比時，它們的乘積保持不變。例如，密度和體積成反比。 

4. 比例式(或等比關係) 

比例式是描述兩個比之間的關係。例如，$$a:b = c:d$$ 表示「a和b的比等於c和d的比」、或「a和b的比值等於c和d的比值」。 

5. 應用問題 

設計一些實際應用的問題，讓學生運用比和比例式解決日常生活中的問題。 

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平面直角坐標系

 平面直角坐標系

1. 什麼是平面直角坐標系？

平面直角坐標系是由平面上兩條互相垂直、且有共同原點的數線所組成。其中：

• 水平的數線稱為 x 軸。
• 鉛垂的數線稱為 y 軸。

2. 坐標點的表示

在坐標平面上，我們可以使用序數對 $(x, y)$ 來表示一個點的位置。

例如，點 $A$ 的坐標是 $(-4, 3)$，表示它在 $x$ 軸上的位置是 $-4$，而在 $y$ 軸上的位置是 $3$。

3. 描點練習

練習在坐標平面上描點，例如：

• 描出點 B(1, 2)
• 描出點 C(3, -3)
• 描出點 D(-5, -2)

4. 距離計算

學習直角坐標系上兩點的距離公式：

已知兩點 $A (a, b)$ 和 $B (c, d)$，它們之間的距離為： $$線段AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2}$$

5. 方位與距離

學習如何分析直角坐標與方位距離的關係，並運用直角坐標來標定位置。

這些內容可以作為學習單的基礎，可以根據自己的程度和需求進一步擴充或增加其他練習。希望這份學習單對國中學生的數學學習有所幫助！

在坐標平面上，二元一次方程式的圖形是一條直線，因此可以利用直線通過的點求二元一次式。以下是一份針對國中學生的數學學習單，關於「二元一次方程式的圖形」：

二元一次方程式的圖形

1.什麼是二元一次方程式？

二元一次方程式是指具有以下形式的方程式：

$$ax + by + c = 0$$ 

其中 $a$、$b$、$c$ 是實數，且 $a$ 和 $b$ 不同於零。

2.圖形的特性

在坐標平面上，二元一次方程式 $ax + by + c = 0$ 的圖形是一條直線。

我們可以利用直線通過的點來求解二元一次方程式。

3.如何繪製二元一次方程式的圖形？

選擇一些不同的 x 值，計算對應的 y 值，並繪製這些點在坐標平面上。

連接這些點，形成一條直線，即為二元一次方程式的圖形。

4.練習題

請根據以下二元一次方程式的圖形，求解方程式

$2x - 3y + 6 = 0$

$4x + 2y - 8 = 0$

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路人手拉線放風箏 Desmos

 

在網路上見到有人分享，用方程式或函式堆疊出「路人手拉線放風箏的小動畫」，覺得可愛，自己也嘗試看看，以下是結合Desmos繪圖計算機

首先，在Desmos輸入以下方程式

1. $\left(x-1\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}=1$
2. $x=1\left\{1.5\le y\le4\right\}$
3. $y=1.5x\left\{0\le x\le1\right\}$
4. $y=1.5x+2.5\left\{0\le x\le1\right\}$
5. $y=-1.5x+3\left\{1\le x\le2\right\}$
6. $y=-1.5x+5.5\left\{1\le x\le2\right\}$
7. $\left|1.5x-a\right|+\left|y-25\right|\le2$
8. $\left|1.5x-a\right|+\left|y-25\right|=2$
9. $1.5x-a+0.001=0.4\sin\left(y+a\right)\left\{15\le y\le23\right\}$
10. $1.5x=a\left\{23\le y\le27\right\}$
11. $y=25\left\{a-2\le1.5x\le a+2\right\}$
12. $\frac{\left(1.5x-2\right)^{2}}{4+1.3a-20}+\frac{\left(y-25.1\right)^{2}}{16}=32\left\{2\le x\le23\right\}\left\{2\le y\le23\right\}$
13. $\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2.5\right)^{2}\le0.05$
14. $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-30\right)^{2}\le4$
15. $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-30\right)^{2}=4$
16. $x=4\left\{26.5\le y\le28\right\}$
17. $x=4\left\{32\le y\le33.5\right\}$
18. $y=30\left\{0.5\le x\le2\right\}$
19. $y=30\left\{6\le x\le7.5\right\}$
20. $y=x+26\left\{1.3\le x\le2.6\right\}$
21. $y=-x+34\left\{1.3\le x\le2.6\right\}$
22. $y=x+26\left\{5.4\le x\le6.7\right\}$
23. $y=-x+34\left\{5.4\le x\le6.7\right\}$
24. $\frac{\left(x-1.1a+12\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-28-0.5b\right)^{2}}{4}\le0.2$
25. $\frac{\left(x-1.1a+15\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-28-0.5b\right)^{2}}{4}\le0.4$
26. $\frac{\left(x-0.8a+19\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-32-b\right)^{2}}{4}\le0.2$
27. $\frac{\left(x-0.8a+22\right)^{2}}{12}+\frac{\left(y-32-b\right)^{2}}{4}\le0.4$
28. $20<=a<=25$, 間距0.01
29. $0<b<3$, 間距0.2

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我自己輸入的Desmos連結