有關於中垂線

2016年10月15日今天有人問了一題數學題目，如下





首先，我先把$P(2,0)$、$Q(4,2)$兩點畫在直角坐標平面上，如下





如上圖，可發現：$P(2,0)$在$x$軸上，$Q(4,2)$在第一象限，再來





代表「直線AP的長度」等於「直線AQ的長度」，換句話說，「A點到P點的距離」等於「A點到P點的距離」，那問題是…A點會在哪裡呢？A點會落在直線PQ的中垂線上，如下圖





也就是說，只要是中垂線上的點，都可能是A點！只是現在的A點必須在$y$軸上，所以結果明顯了！所以現在我變成求直線PQ與$y$軸的交點A。如下





首先，求直線PQ的中垂線：


設中垂線上的點為(x,y)，因題目有說(x,y)至P、Q兩點的距離相等，因此



把坐標的數值代入距離的公式，得到如下



等號兩邊都有根號，去掉根號後，展開等號兩邊的式子，再同類項合並

最後得到中垂線的直線方程式為：x+y=4。


第二，求中垂線與y軸的交點坐標A：

因為在y軸的點，其x=0，代入直線方程式x+y=4得0+y=4，y=4，所以A點坐標為A(0,4)。