the bisection method 二分逼近法 例子1

例子 1：
use the bisection method to find $p_3$ for $f(x)=x^3+4x^2-10$ on $[1,2]$.

首先說明其有根：
因為函數 $f$ 在 $[1,2]$ 連續，且 $f(1)f(2)<0$，由 IVT 可知函數 $f$ 在 $[1,2]$ 中有根。

接者尋找 $p_3$ :

1. $a_1=1$, $b_1=2$,  則 $p_1=\frac{1}{2}(1+2)=\frac{3}{2}$.

2. $a_2=1$, $b_2=p_1=\frac{3}{2}$,  則 $p_2=\frac{5}{4}$.

3. $a_3=p_2=\frac{5}{4}$, $b_3=\frac{3}{2}$,  則 $p_3=\frac{1}{2}(\frac{5}{4}+\frac{3}{2})$.

 

using c language：

1. #include <stdio.h>
2. #include <stdlib.h>
3. #include <math.h>       /**/
4. float f(float u);
5. int sig(float v);
6. int main(void)
7. { 
8.     int i=0,N=10000;
9.     float a=1.0,b=2.0,p=1.5,FA=0.0,FP=0.0;
10.     float TOL=0.0000001;
11.    
12.     printf("n   an          bn              pn             f(pn)\n");
13.     /*Step1*/
14.     i=1;
15.     FA=f(a);
16.    
17.     /*Step2*/
18.     while(i<=N)
19.     {    /*Step3*/
20.          p=a+(b-a)/2;
21.          FP=f(p);
22.         
23.     printf("%2d    %.9f    %.9f    %.9f    %+.9f\n",i,a,b,p,f(p));    
24.         
25.          /*Step4*/
26.          if(FP==0 || (b-a)/2<TOL)
27.          {printf("n=%d, p=%+f\n",i,p);break;}
28.         
29.          /*Step5*/
30.          i=i+1;
31.         
32.          /*Step6*/
33.          if(sig(FA)*sig(FP)>0){a=p;FA=FP;}
34.          else b=p;
35.          }
36.     printf("method failed after N=%d iterations.",N);
37.    
38.  
39.    
40. system("PAUSE");
41. return 0;       
42.    }
43.   
44.   
45. float f(float u)
46. {
47.       return u*u*u+4*u*u-10;
48.       }
49.      
50. int sig(float u)
51. {   
52.      if(u>0){return 1;}
53.      else if(u<0){return -1;}
54.      else 0; 
55.      }

其執行結果：

當 $n=3$, 則 $p_3=1.375$.